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Geometría

En este lugar encontrarás información interesante a cerca de diversos contenidos de geometría, así cómo algunos ejercicios prácticos a nivel secundaria.

La enseñanza de la geometría por medio de un arte japonés.
Uno de los principales retos y dificultades simultáneamente dentro de la labor docente indiscutiblemente es el referente al cómo captar la atención de los adolescentes en una sesión de aproximadamente 45 minutos  considerando que el tiempo promedio posible en que se captar la atención de un estudiante es escasamente de 10 minutos dejando a la deriva 30 minutos muertos para el proceso de enseñanza aprendizaje desarrollado dentro de las aulas.
Comúnmente se si interroga a los alumnos sobre sus preferencias en las clases y tipos de actividades propuestos en la clase, ellos nos contestarán sin exactitud pues lo único que ellos exigen es que tenga colores, que sea divertida y que no requiera que estén callados en su lugar y sin poder moverse; precisamente ante estas exigencias generales la practica del origami, mejor conocida como papiroflexia es una buena alternativa no solo para desarrollar algunos temas del eje de geometría sino también para desarrollar y fortalecer  la psicomotricidad fina en nuestros adolescentes.
La secundaria en México introduce a los alumnos al estudio de los cuerpos geométricos utilizando diversos medios que, cada uno, ofrece ventajas y desventajas. En el Libro para el maestro de secundaria para Matemática se hace hincapié en la necesidad de que este estudio de figuras tridimensionales se lleve a cabo recurriendo a “la manipulación de los modelos físicos de los sólidos geométricos y otros objetos del mundo real” (pág. 291), por lo que en algunas sesiones es posible introducir una serie de actividades dirigidas al estudio de algunos sólidos geométricos y al desarrollo de habilidades de razonamiento a través de la construcción y manipulación de estos cuerpos utilizando la técnica de construcción conocida como origami modular.
El llamado origami modular se basa en la construcción de módulos o unidades (casi siempre iguales) que se pueden ensamblar en cuerpos geométricos o, en su caso, en figuras decorativas. Esta técnica tiene ventajas que le permiten ser considerada en una clase de matemática: los resultados son coloridos y existe la posibilidad de producir una sorpresa en los alumnos al saber que no tienen que usar herramientas típicas como la regla (para trazar y medir), el compás, las tijeras y el pegamento. Además, el costo de los materiales es mucho menor que el de otras tecnologías y está al alcance de la mayoría de los alumnos.
Por otro lado, el origami es considerado un arte de economía, pues los productos resultan de trozos finitos y bien definidos de papel, por lo que se tiene que echar mano no sólo de habilidades motrices sino también de las habilidades de razonamiento y de la imaginación espacial para hallarle el sentido a una construcción cuando se está ensamblando o, incluso, cuando se están haciendo los módulos.
Esta técnica también ofrece la posibilidad de manipular al final un modelo tridimensional sin haber tenido que hacer muchos trazos, aunque se tiene la desventaja de que a veces es tedioso hacer muchos módulos o el ensamble resulta un poco laborioso; sin embargo, para una persona perseverante, curiosa y paciente esta desventaja se puede convertir en un reto, mientras que para una persona que se impaciente le puede ayudar a desarrollar algunas actitudes como la paciencia.
Las sesiones desarrolladas por medio de este arte japonés pueden tener los siguientes propósitos, independientemente de aquellos que se presentan en el programa correspondiente:
. Estudiar y analizar las propiedades de algunas figuras geométricas planas, tal como el rectángulo, el cuadrado y el triángulo equilátero. En estas propiedades se incluyeron la identificación de sus partes y de propiedades que permitieran su construcción.
. Construir los poliedros regulares y estudiar sus propiedades básicas, particularmente sobre la forma y número de sus caras, así como la cantidad de vértices y de aristas.
. Iniciar un estudio introductorio sobre las simetrías de los sólidos platónicos y sobre las relaciones que existen entre la forma de las caras de cada uno de ellos y el número de aristas que concurren en cada vértice.
Además, el fomento de actitudes relacionadas con la investigación, la colaboración en equipo y el respeto a los demás en cuanto a su trabajo y sus opiniones, fueron situaciones que se propiciaron y se mantuvieron durante el desarrollo de las actividades para así permitir alcanzar el desarrollo de los conocimientos y las habilidades deseadas en un trabajo en conjunto. De esta manera, el trabajo en equipo se convirtió en un medio para promover el intercambio de ideas y la cooperación, así como para ahorrar tiempo en las construcciones que requerían varios módulos.
Por otro lado, vale la pena recordar que en el caso del origami modular existen diferentes tipos de módulos que varían entre sí no sólo por el procedimiento de construcción ni por la forma del trozo de papel inicial, sino también por el tipo de poliedro que se quiere obtener y por la parte de éste que cada módulo va a constituir principalmente: un vértice, una cara o una arista.



Procedimientos para  trazar un triángulo

w  Cuando se conocen sus tres lados:
h   Conocemos los lados a, b, c. En primer lugar se traza un segmento que tenga la longitud del segmento a. En sus extremos localizamos los puntos B y Ccon centro en B y radio igual a la medida de c se traza un arco de circunferencia. Con centro en C y radio igual al valor del segmento b se traza otro arco que cortará al anterior en el punto A. Uniendo A con B y C se obtiene el triángulo.


w  Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos:
h   Conocemos el lado a y el lado b. Conocemos también el ángulo C. En este caso se construye el ángulo C y sobre sus lados se llevan las medidas de los segmentos a y b, resultando los vértices A y B. Unimos estos puntos para construir el triángulo.


w  Cuando se conocen un lado y los ángulos que se forman en sus extremos:
h   Conocemos el lado a y los ángulos B y C. Sobre el segmento a y en los extremos se construyen los ángulos B y C con vértices en B y C. Las prolongaciones de los lados de los ángulos B y C se cortan en un punto A que es el tercer vértice del triángulo.


RAZONES GEOMÉTRICAS
Cuando la comparación entre dos cantidades se establece a través de una división o cociente, recibe el nombre de razón geométrica o simplemente razón.
                                                a     o       a : b con b diferente a 0
                                                b

PROPROCIONES GEOMÉTRICAS

            Se denomina proporción geométrica a la igualdad de dos razones geométricas y se representa como:
                                               a  =  c          o       a : b :: c : d
                                               b      d
           
En donde a los términos a y d de la proporción se les conoce como extremos; a los términos b y c de la proporción se les conoce como medios.

Las proporciones geométricas cuyos medios no son iguales reciben el nombre de proporciones geométricas discretas. Por el contrario, si los medios de la proporción geométrica son iguales, esta recibe el nombre de continua.
Ejemplo:

14 : 7 :: 16 : 8                                                           20 :10 :: 10 : 5
proporción geométrica discreta                           proporción geométrica continúa

En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios. De allí se deduce que:

En toda proporción geométrica un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo.

Como  X     =      9       entonces  (X)  (3)   =   (9)   (5)
                         5              3    
                                    
            Así, se tiene: X= (9)  (5)  = 15

En toda proporción geométrica un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio; por lo que si en la proporción m : n :: x : y se trata de encontrar el valor de x habría que establecer la siguiente forma:

X= (m)(y)
      n





Se define la media geométrica de una proporción geométrica continua como cada uno de los medios iguales de dicha proporción geométrica. Ejemplo:

20 :10 :: 10 : 5 la media geométrica es 10

La media geométrica de una proporción continua es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. En efecto, considerando la proporción geométrica continua m : n :: n : p. se trata de demostrar que :
                                   n =      (m) (p)

Para ello multiplicaremos ambos miembros por (n) (p) se tendrá:
                                                  (m)  (n)  (p)     =    (n) (n) (p) .
                                               n                          p

Simplificando (m) (p) = n2

Por otra parte se encuentra dentro de las proporciones lo que es la cuarta proporcional que es cualquiera de los cuatro términos en relación a los otros tres de la proporción geométrica discreta. Así mismo esta la tercera proporcional que es el primer o cuarto termino de una proporción geométrica continua.


PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:
A)   Si dos proporciones geométricas tienen una razón común las otras dos razones constituyen una propia proporción geométrica.
B)   Si dos proporciones geométricas tienen iguales los antecedentes, los consecuentes constituyen una proporción geométrica.
C)   Si dos proporciones geométricas tienen iguales los consecuentes, los antecedentes constituyen una proporción geométrica.
D)   Si se multiplican término a término  varias proporciones geométricas se obtiene otra proporción geométrica.
E)   Con los cuatro términos de dos productos iguales se puede formar una proporción geométrica.
F)   Si se multiplican o dividen todos los términos de una proporción geométricas por un mismo número, la proporción permanece invariable.
G)   Si se multiplican o dividen todos los antecedentes de una proporción geométrica por un mismo número la proporción geométrica permanece invariable.
H)   Si se multiplican o dividen todos los consecuentes de una proporción geométrica por un mismo número la proporción geométrica permanece invariable.
I)     Si se multiplica o dividen los dos términos de una de las razones de una proporción geométrica por un mismo número, la proporción geométrica permanecen invariable.
J)    Si se elevan a una misma potencia todos los términos de una proporción geométrica, la proporción geométrica permanece invariable.
K)   Si extraemos una misma raíz a todos los términos de una proporción geométrica la proporción geométrica permanece invariable.
L)    En toda proporción geométrica la suma o la resta de los dos términos de la primera razón es a su antecedente como la suma o la resta de los dos términos de la segunda razón es a su antecedente.

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